Mandelbrot Fractals I

Uit het voorgaande blijkt dat Julia fractals ontstaan als het iteratieproces

z_n+1 = z_n^² + c

tenminste één aantrekker heeft.
Je kunt je afvragen voor welke waarden van c er een Julia fractal zal gaan ontstaan en voor welke waarden van c dat juist niet gebeurt.
De vraag luidt dus:

Voor welke waarden van c zijn er aantrekkers,
en voor welke waarden van c zijn die er niet?

Bij het onderzoek van de reële versie van het iteratie proces bleek dat het bestaan van aantrekkers beperkt is tot tot 0,25 < c < -2, en dan niet eens overal. Bij waardan van c tussen ca. -1,41 en -2 is er sprake van chaotisch gedrag, waartussen ook weer gebieden met aantrekkers zitten (Feigenbaum).

Het ligt voor de hand om te veronderstellen dat iets dergelijks gebeurt bij complexe waarden van c. Dat is inderdaad het geval. Als je die waarden van c waarvoor het iteratieproces aantrekkers heeft tekent in het complexe vlak, ontstaat de beroemde Fractal van Mandelbrot. Deze fractal is genoemd naar de in Polen geboren Franse wiskundige Benoit Mandelbrot (1924-2010), die hem rond 1975 voor het eerst beschreef.

Zie de figuur.
De zwart gekleurde delen zijn de waarden van c waarvoor er Julia-fractals bestaan.
Voor de volledigheid zijn de Reële en de Imaginaire as in de figuur getekend. Op de reële as lopen de waarden van c van -2 tot +0,25. De waarden op de imaginaire as lopen van ca. -1,15i tot ca. +1,15i.

Deze figuur ziet er uit als een Appel met een Hoofd, en wordt daarom wel "Appelmannetje" genoemd.
Langs de randen van de figuur zitten uitstulpingen die weer de vorm van het hoofd hebben. Dat herhaalt zich tot in het oneindige.

Buiten de figuur zitten nog meer appelmannetjes, bijvoorbeeld op c = -1,75 en c = 0,16 ± 1,03i. In deze figuur zijn dat zwarte puntjes, maar als je op die plaatsen zou inzoomen zie je ze echt verschijnen. Dan blijkt ook dat er maar één gebied is met waarden van c waarvoor er Julia-sets bestaan. Al die losse "buitengebiedjes" zijn namelijk met elkaar verbonden, hoewel de verbindingen vaak heel smal zijn.

De figuur hieronder toont de nogmaals fractal van Mandelbrot. In de zwarte gebieden treedt aantrekking op. Daar is dus sprake van een Julia-fractal. Daarbuiten ontstaan nog wel mooie Julia-figuren, maar er zijn geen gebieden met aantrekkers meer.

Een aantal waarden van c is de bijbehorende Julia-fractal er bij getekend. Dit zijn allemaal punt-symmetrische figuren, waarvan de oorsprong het symmetrie-punt is.

Uit de bovenstaande figuur blijkt dat de meest interessante Julia-fractals onstaan voor waarden van c die zich dicht bij de rand van de Mandelbrot-set bevinden. Dit heeft te maken met het gedrag van de Mandelbrot-fractal: In het binnengebied treedt convergentie op. Alle waarden worden aangetrokken naar nul. In het buitengebied heb je divergentie. Aan de rand heb je vreemde aantrekkers en chaotisch gedrag. De mooiste fractal-figuren zijn dan ook te vinden in het overgangsgebied tussen convergentie en divergentie.

Dit laatste geldt overigens voor zowel Mandelbrot- als voor Julia-fractals.

Laatst bijgewerkt: 21 november 2020